प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{48} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 3$

$b = 4 \sqrt{3}$

$k = - 4$

$h = - 5$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(- 5, - 4)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

उत्पाद नियम को $4 \sqrt{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 5.3.1.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 5.3.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 5.3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}$

चरण 5.3.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{9 + 16 \cdot 3}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$\sqrt{9 + 48}$

चरण 5.3.3.2

$9$ और $48$ जोड़ें.

$\sqrt{57}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + a, k)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 2, - 4)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - a, k)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 8, - 4)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h \pm a, k)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + c, k)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - c, k)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{9 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}}{3}$

चरण 8.3.2

उत्पाद नियम को $4 \sqrt{3}$ पर लागू करें.

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

चरण 8.3.3

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{9 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

चरण 8.3.4

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{9 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

चरण 8.3.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

चरण 8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

चरण 8.3.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

चरण 8.3.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3^{1}}}{3}$

चरण 8.3.4.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{9 + 16 \cdot 3}}{3}$

चरण 8.3.5

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{9 + 48}}{3}$

चरण 8.3.6

$9$ और $48$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{57}}{3}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 \cdot 3^{1}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{4 \cdot 3}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{12}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.3

$\frac{12}{\sqrt{57}}$ को $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ से गुणा करें.

$\frac{12}{\sqrt{57}} \cdot \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$

चरण 9.3.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.1

$\frac{12}{\sqrt{57}}$ को $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{57}}$ से गुणा करें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{\sqrt{57} \sqrt{57}}$

चरण 9.3.4.2

$\sqrt{57}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57}}$

चरण 9.3.4.3

$\sqrt{57}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1}}$

चरण 9.3.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{\sqrt{57}}^{2}}$

चरण 9.3.4.6

${\sqrt{57}}^{2}$ को $57$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.6.1

$\sqrt{57}$ को $57^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{{(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57^{1}}$

चरण 9.3.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{12 \sqrt{57}}{57}$

चरण 9.3.5

$12$ और $57$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.5.1

$12 \sqrt{57}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{57}$

चरण 9.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.5.2.1

$57$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 (19)}$

चरण 9.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (4 \sqrt{57})}{3 \cdot 19}$

चरण 9.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ रूप का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है.

$y = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

चरण 11

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

चरण 11.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

चरण 11.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

चरण 11.2.3

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

चरण 11.2.4

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.1

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ और $5$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 5}{3} - 4$

चरण 11.2.4.2

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 12

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 5)) - 4$

चरण 12.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 1$ को $- 5$ से गुणा करें.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (x + 5) - 4$

चरण 12.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

चरण 12.2.3

$x$ और $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5 - 4$

चरण 12.2.4

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.4.1

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} - 5 \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 12.2.4.2

$- 5$ और $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 5 (4 \sqrt{3})}{3} - 4$

चरण 12.2.4.3

$4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x (4 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 12.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.5.1

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{4 \cdot x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 20 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 12.2.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4, y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(- 5, - 4)$

शीर्ष: $(- 2, - 4), (- 8, - 4)$

फ़ॉसी: $(- 5 + \sqrt{57}, - 4), (- 5 - \sqrt{57}, - 4)$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{\sqrt{57}}{3}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{4 \sqrt{57}}{19}$

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{4 \sqrt{3} x}{3} + \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$ , $y = - \frac{4 x \sqrt{3}}{3} - \frac{20 \sqrt{3}}{3} - 4$

चरण 15