प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

चरण 1

योग को छोटे योगों में विभाजित करें जो योग के नियमों के अनुकूल हों.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

चरण 2

$\sum_{k = 1}^{100} 9$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

एक स्थिरांक के योग का सूत्र है:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

चरण 2.2

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(9) (100)$

चरण 2.3

$9$ को $100$ से गुणा करें.

$900$

चरण 3

$\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 3.2

सूत्र $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$a_{k}$ और $a_{k + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

चरण 3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ और ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ में से ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

चरण 3.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

चरण 3.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

चरण 3.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

चरण 3.2.2.1.2.4

${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

चरण 3.2.2.2

$k$ और $0$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

चरण 3.2.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

चरण 3.2.2.3.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

चरण 3.2.2.4

$k$ में से $k$ घटाएं.

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

चरण 3.2.2.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

चरण 3.2.2.6

सरल करें.

$r = \frac{1}{2}$

चरण 3.3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$k$ के स्थान पर ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

चरण 3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

चरण 3.3.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

चरण 3.3.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = \frac{1}{2^{0}}$

चरण 3.3.2.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = \frac{1}{1}$

चरण 3.3.2.5

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$a = 1$

चरण 3.4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

चरण 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

चरण 3.5.2.2

जोड़ना.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

चरण 3.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

चरण 3.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

चरण 3.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

चरण 3.5.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.3.1

$- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.3.2

$2^{100}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.7

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.8

$2$ और $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.10

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{99}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.10.1

$2$ को $2^{99}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.10.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.10.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.5.10.2

$1$ और $99$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

चरण 3.5.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

चरण 3.5.6.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

चरण 3.5.7

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

चरण 4

योग के परिणाम जोड़ें.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$900$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ से गुणा करें.

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

चरण 5.2

$900$ और $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ को मिलाएं.

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

चरण 5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

दशमलव रूप:

$902$