प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{8} \frac{1}{3^{n}}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{n}$ और $a_{n + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{\frac{1}{3^{n + 1}}}{\frac{1}{3^{n}}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$r = \frac{1}{3^{n + 1}} \cdot 3^{n}$

चरण 2.2.2

$\frac{1}{3^{n + 1}}$ और $3^{n}$ को मिलाएं.

$r = \frac{3^{n}}{3^{n + 1}}$

चरण 2.2.3

$3^{n}$ और $3^{n + 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$3^{n}$ में से $3^{n + 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1}}$

चरण 2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{3^{n + 1} \cdot 3^{n - (n + 1)}}{3^{n + 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{3^{n - (n + 1)}}{1}$

चरण 2.2.3.2.4

$3^{n - (n + 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 3^{n - (n + 1)}$

चरण 2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$r = 3^{n - n - 1}$

चरण 2.2.5

$n$ में से $n$ घटाएं.

$r = 3^{0 - 1}$

चरण 2.2.6

$0$ में से $1$ घटाएं.

$r = 3^{- 1}$

चरण 2.2.7

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{1}{3}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$n$ के स्थान पर $\frac{1}{3^{n}}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = \frac{1}{3^{1}}$

चरण 3.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$a = \frac{1}{3}$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

चरण 5.1.2

जोड़ना.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

चरण 5.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.2

$3^{8}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.5

$3$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.8

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2187}{2187}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.9

$3$ और $\frac{2187}{2187}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.11.1

$3$ को $2187$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11.2

$6561$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

चरण 5.5.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

चरण 5.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 5.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$6560$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3} (\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 5.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 5.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$

चरण 5.8

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3280}{2187}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{3280}{2187}$ से गुणा करें.

$\frac{3280}{3 \cdot 2187}$

चरण 5.8.2

$3$ को $2187$ से गुणा करें.

$\frac{3280}{6561}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3280}{6561}$

दशमलव रूप:

$0.49992379 \dots$