प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

चरण 1

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3

द्विघात सूत्र में $a = 2$ , $b = 2$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.2.2

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.3

$4$ में से $8$ घटाएं.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.4

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

चरण 4.1.9

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

चरण 4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

चरण 4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ को सरल करें.

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

चरण 5

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

चरण 6

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 7

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

चरण 8

हल समेकित करें.

$x = 0, - 1$

चरण 9

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x (x + 1) = 0$

चरण 9.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 9.2.2

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 9.2.3

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 9.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 9.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1$

चरण 9.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 10

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

चरण 11

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

अंतराल $x < - 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

अंतराल $x < - 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 4$

चरण 11.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 4$ से बदलें.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

चरण 11.1.3

बाईं ओर $2.08\overline{3}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 11.2

अंतराल $- 1 < x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

अंतराल $- 1 < x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 0.5$

चरण 11.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 0.5$ से बदलें.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

चरण 11.2.3

बाईं ओर $- 2$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 11.3

अंतराल $x > 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

अंतराल $x > 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 11.3.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

चरण 11.3.3

बाईं ओर $2.1\overline{6}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 11.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 1$ सही

$- 1 < x < 0$ गलत

$x > 0$ सही

$x < - 1$ सही

$- 1 < x < 0$ गलत

$x > 0$ सही

चरण 12

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - 1$ या $x > 0$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

असमानता रूप:

$x < - 1 or x > 0$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

चरण 14