प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 \cos^{2} (x) = 1 - \cos (x)$

चरण 1

$u$ को $\cos (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों में $u$ जोड़ें.

$2 u^{2} + u = 1$

चरण 3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

चरण 4

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1$ से गुणा करें.

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

चरण 4.1.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

चरण 4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

चरण 4.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

चरण 4.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

चरण 4.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

चरण 5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 6

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u - 1 = 0$

चरण 6.2

$u$ के लिए $2 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 u = 1$

चरण 6.2.2

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 6.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 7

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 7.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 9

$\cos (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 10

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

चरण 11

$x$ के लिए $\cos (x) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 11.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 11.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

चरण 11.4

$2 π - \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 11.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 11.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 11.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

चरण 11.4.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{3}$

चरण 11.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 11.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 11.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 11.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 11.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 12

$x$ के लिए $\cos (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x = \arccos (- 1)$

चरण 12.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 12.3

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 12.4

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 12.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 12.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 12.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 12.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 12.6

$x = π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 13

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए