प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

चरण 1

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.2

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.2.2

$- 3 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.2.3

$- 4 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.2.4

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.2.5

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 3 u - 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 4$ है और जिसका योग $- 3$ है.

$- 4, 1$

चरण 2.1.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.8

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.8.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.9

$- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.9.1

$- 3 x^{4}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

चरण 2.1.9.2

$9 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

चरण 2.1.9.3

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

चरण 2.1.9.4

$3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

चरण 2.1.9.5

$3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

चरण 2.1.10

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

चरण 2.1.11

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

चरण 2.1.12

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.12.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ है और जिसका योग $b = 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.12.1.1

$3 u$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

चरण 2.1.12.1.2

$3$ को $- 1$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

चरण 2.1.12.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

चरण 2.1.12.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.12.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

चरण 2.1.12.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

चरण 2.1.12.3

महत्तम समापवर्तक, $- u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

चरण 2.1.13

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

चरण 2.1.14

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

चरण 2.1.15

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.15.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.15.1.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

चरण 2.1.15.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 2.1.15.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 2.1.16

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.16.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 2.1.16.2

$3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.16.3

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.17

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.18

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.18.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.18.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.18.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.18.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.19

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

चरण 2.1.20

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

चरण 2.1.21

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

चरण 2.1.22

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

चरण 2.1.23

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

चरण 2.1.24

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.24.1

$x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.24.1.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.24.1.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

चरण 2.1.24.1.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

चरण 2.1.24.1.2

महत्तम समापवर्तक, $x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

चरण 2.1.24.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 2.3

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 2.4

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 2.5

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.6

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 2.6.2

$x$ के लिए $x^{2} + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 2.6.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 2.6.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 2.6.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 2.6.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

चरण 3