प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(4)}^{4} - 8 {(4)}^{3} + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 4$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$256 - 8 {(4)}^{3} + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

चरण 4.1.2

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$256 - 8 \cdot 64 + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

चरण 4.1.3

$- 8$ को $64$ से गुणा करें.

$256 - 512 + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

चरण 4.1.4

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$256 - 512 + 17 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 16$

चरण 4.1.5

$17$ को $16$ से गुणा करें.

$256 - 512 + 272 - 8 \cdot 4 + 16$

चरण 4.1.6

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$256 - 512 + 272 - 32 + 16$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$256$ में से $512$ घटाएं.

$- 256 + 272 - 32 + 16$

चरण 4.2.2

$- 256$ और $272$ जोड़ें.

$16 - 32 + 16$

चरण 4.2.3

$16$ में से $32$ घटाएं.

$- 16 + 16$

चरण 4.2.4

$- 16$ और $16$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $4$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 4$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(4)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(- 8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$
	$1$	$- 4$

चरण 6.5

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(4)$ से गुणा करें और $(- 16)$ के परिणाम को भाज्य $(17)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$

चरण 6.6

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$

चरण 6.7

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$
	$1$	$- 4$	$1$

चरण 6.8

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

चरण 6.9

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(4)$ से गुणा करें और $(- 16)$ के परिणाम को भाज्य $(16)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

चरण 6.10

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

चरण 7

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x - 4) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x - 4) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x - 4) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

चरण 8

महत्तम समापवर्तक, $x - 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x - 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$

चरण 9

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

चरण 9.2

$- 8 x^{3} - 8 x$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 8 x^{3}$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

चरण 9.2.2

$- 8 x$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

चरण 9.2.3

$- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ में से $- 8 x$ का गुणनखंड करें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

चरण 9.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

चरण 9.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

चरण 9.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + 17 u + 16$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $16$ है और जिसका योग $17$ है.

$1, 16$

चरण 9.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

चरण 9.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

चरण 9.7

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1

$- 8 x (x^{2} + 1)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

चरण 9.7.2

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

चरण 9.8

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

चरण 9.9

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.9.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

चरण 9.9.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

चरण 9.9.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

चरण 9.9.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

चरण 9.9.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = 4$ है.

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

चरण 9.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

चरण 10

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

चरण 11

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 11.2

$x$ के लिए $x^{2} + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 11.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 11.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 11.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 11.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 12

${(x - 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

${(x - 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 4)}^{2} = 0$

चरण 12.2

$x$ के लिए ${(x - 4)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 12.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 13

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = i, - i, 4$

चरण 14