प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 0}^{8} \frac{1}{6^{n}}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{n}$ और $a_{n + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

चरण 2.2.2

$\frac{1}{6^{n + 1}}$ और $6^{n}$ को मिलाएं.

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

चरण 2.2.3

$6^{n}$ और $6^{n + 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$6^{n}$ में से $6^{n + 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

चरण 2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

चरण 2.2.3.2.4

$6^{n - (n + 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 6^{n - (n + 1)}$

चरण 2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$r = 6^{n - n - 1}$

चरण 2.2.5

$n$ में से $n$ घटाएं.

$r = 6^{0 - 1}$

चरण 2.2.6

$0$ में से $1$ घटाएं.

$r = 6^{- 1}$

चरण 2.2.7

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{1}{6}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$n$ के स्थान पर $\frac{1}{6^{n}}$ में $0$ प्रतिस्थापित करें.

$a = \frac{1}{6^{0}}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = \frac{1}{1}$

चरण 3.2.2

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$a = 1$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

चरण 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $6$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$ को $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{6})}^{9}}{1 - \frac{1}{6}}$

चरण 5.2.2

जोड़ना.

$\frac{6 (1 - {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 (1 - \frac{1}{6})}$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{6})}$

चरण 5.4

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- \frac{1}{6}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 1}{6})}$

चरण 5.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 + 6 (- {(\frac{1}{6})}^{9})}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{6}$ पर लागू करें.

$\frac{6 + 6 (- \frac{1^{9}}{6^{9}})}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

$- \frac{1^{9}}{6^{9}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6^{9}}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3.2

$6^{9}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 + 6 \frac{- 1^{9}}{6 \cdot 6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6 + \frac{- 1^{9}}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{6^{8}}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.5

$6$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{6 + \frac{- 1 \cdot 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 + \frac{- 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{6 - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.8

$6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1679616}{1679616}$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot \frac{1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.9

$6$ और $\frac{1679616}{1679616}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616}{1679616} - \frac{1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{6 \cdot 1679616 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.11.1

$6$ को $1679616$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{10077696 - 1}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5.11.2

$10077696$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{6 - 1}$

चरण 5.6.2

$6$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{10077695}{1679616}}{5}$

चरण 5.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{10077695}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

चरण 5.8

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$10077695$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{5 (2015539)}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

चरण 5.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 \cdot 2015539}{1679616} \cdot \frac{1}{5}$

चरण 5.8.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2015539}{1679616}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2015539}{1679616}$

दशमलव रूप:

$1.19999988 \dots$

मिश्रित संख्या रूप:

$1 \frac{335923}{1679616}$