प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

चरण 1.3

$0.\overline{3}$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.\overline{3}$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$0.\overline{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.2

$0.\overline{3}$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.3

$3$ को $0.\overline{037}$ से गुणा करें.

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.4

$0.\overline{3}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.5

$2$ को $0.\overline{1}$ से गुणा करें.

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.6

$0.\overline{1}$ और $0.\overline{2}$ जोड़ें.

$0.\overline{3} - 19 \cdot 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.7

$- 19$ को $0.\overline{3}$ से गुणा करें.

$0.\overline{3} - 6.33333333 + 6$

चरण 1.3.8

$0.\overline{3}$ में से $6.33333333$ घटाएं.

$- 6 + 6$

चरण 1.3.9

$- 6$ और $6$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $0.\overline{3}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $3 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6}{3 x - 1}$

चरण 1.5

$3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ को $3 x - 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$19 x$

$6$

चरण 1.5.2

भाज्य $3 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

चरण 1.5.10

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 18 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 18 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

चरण 1.5.15

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$19 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + x - 6$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $3 x^{3} + 2 x^{2} - 19 x + 6$ लिखें.

$f (x) = (3 x - 1) (x^{2} + x - 6)$

चरण 2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 2, 3$

चरण 2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f (x) = (3 x - 1) ((x - 2) (x + 3))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = (3 x - 1) (x - 2) (x + 3)$