प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{100} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{x^{2}}{100} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 10$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(10)}^{2} + {(8)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{100 + {(8)}^{2}}$

चरण 5.3.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{100 + 64}$

चरण 5.3.3

$100$ और $64$ जोड़ें.

$\sqrt{164}$

चरण 5.3.4

$164$ को $2^{2} \cdot 41$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$164$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{4 (41)}$

चरण 5.3.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{2^{2} \cdot 41}$

चरण 5.3.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$2 \sqrt{41}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + a, k)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(10, 0)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - a, k)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 10, 0)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h \pm a, k)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(10, 0), (- 10, 0)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + c, k)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(2 \sqrt{41}, 0)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - c, k)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(- 2 \sqrt{41}, 0)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(2 \sqrt{41}, 0), (- 2 \sqrt{41}, 0)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(10)}^{2} + {(8)}^{2}}}{10}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$10$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{100 + 8^{2}}}{10}$

चरण 8.3.1.2

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{100 + 64}}{10}$

चरण 8.3.1.3

$100$ और $64$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{164}}{10}$

चरण 8.3.1.4

$164$ को $2^{2} \cdot 41$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.4.1

$164$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{4 (41)}}{10}$

चरण 8.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 41}}{10}$

चरण 8.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{2 \sqrt{41}}{10}$

चरण 8.3.2

$2$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$2 \sqrt{41}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (\sqrt{41})}{10}$

चरण 8.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.2.1

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \sqrt{41}}{2 \cdot 5}$

चरण 8.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sqrt{41}}{2 \cdot 5}$

चरण 8.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{41}}{5}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{8^{2}}{2 \sqrt{41}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{64}{2 \sqrt{41}}$

चरण 9.3.2

$64$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$64$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \sqrt{41}}$

चरण 9.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.2.1

$2 \sqrt{41}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 32}{2 (\sqrt{41})}$

चरण 9.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \sqrt{41}}$

चरण 9.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{32}{\sqrt{41}}$

चरण 9.3.3

$\frac{32}{\sqrt{41}}$ को $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ से गुणा करें.

$\frac{32}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

चरण 9.3.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.1

$\frac{32}{\sqrt{41}}$ को $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ से गुणा करें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

चरण 9.3.4.2

$\sqrt{41}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{32 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

चरण 9.3.4.3

$\sqrt{41}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{32 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

चरण 9.3.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

चरण 9.3.4.6

${\sqrt{41}}^{2}$ को $41$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.6.1

$\sqrt{41}$ को $41^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{32 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{32 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{41^{1}}$

चरण 9.3.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{32 \sqrt{41}}{41}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ रूप का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है.

$y = \pm \frac{4}{5} x + 0$

चरण 11

$\frac{4}{5} x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{4}{5} x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{4}{5} x$

चरण 11.2

$\frac{4}{5}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 x}{5}$

चरण 12

$- \frac{4}{5} x + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- \frac{4}{5} x$ और $0$ जोड़ें.

$y = - \frac{4}{5} x$

चरण 12.2

$x$ और $\frac{4}{5}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5}$

चरण 12.3

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{4 x}{5}$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{4 x}{5}, y = - \frac{4 x}{5}$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(0, 0)$

शीर्ष: $(10, 0), (- 10, 0)$

फ़ॉसी: $(2 \sqrt{41}, 0), (- 2 \sqrt{41}, 0)$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{\sqrt{41}}{5}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{32 \sqrt{41}}{41}$

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{4 x}{5}$ , $y = - \frac{4 x}{5}$

चरण 15