प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

चरण 2

चूँकि $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $\ln (2)$ और $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $\ln (2)$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = \ln (2)$

चरण 3

चूँकि $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $\ln (3)$ और $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $\ln (3)$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = \ln (3)$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = \ln (2), \ln (3)$

चरण 5

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

चरण 5.1.2

जैसे-जैसे $x$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

चरण 5.1.3

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

चरण 5.2

चूँकि घातांक $2 x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{2 x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

चरण 5.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

चरण 5.3.2

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

चरण 5.4

चूँकि घातांक $2 x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{2 x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

चरण 5.5

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

चरण 5.6

चूँकि घातांक $x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

चरण 5.7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$6$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

चरण 5.7.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

$3 \cdot 0 + 2$ और $0 - 5 \cdot 0 + 6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.1

$0$ को $- 1 (0)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

चरण 5.7.2.1.2

$- 5 \cdot 0$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

चरण 5.7.2.1.3

$- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

चरण 5.7.2.1.4

$6$ को $- 1 (- 6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

चरण 5.7.2.1.5

$- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

चरण 5.7.2.1.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

चरण 5.7.2.1.7

$3 \cdot 0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

चरण 5.7.2.1.8

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

चरण 5.7.2.1.9

$2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

चरण 5.7.2.1.10

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1.10.1

$- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

चरण 5.7.2.1.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

चरण 5.7.2.1.10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

चरण 5.7.2.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

चरण 5.7.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

चरण 5.7.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.3.1

$0$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

चरण 5.7.2.3.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

चरण 5.7.2.3.3

$0$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

चरण 5.7.2.4

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3}$

चरण 6

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = \frac{1}{3}$

चरण 7

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं है क्योंकि न्यूमेरेटर की डिग्री भाजक की डिग्री से कम या उसके बराबर है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 8

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = \ln (2), \ln (3)$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = \frac{1}{3}$

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 9