प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

चरण 1

रेडिकैंड को $\sqrt{- x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$- x \geq 0$

चरण 2

$- x \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- x \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \leq 0$

चरण 3

रेडिकैंड को $\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

असमानता के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

चरण 4.2

असमानता के बाईं पक्ष की ओर करणी को हटाने के लिए, असमानता के दोनों किनारों को वर्ग करें.

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3

असमानता के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\sqrt{- x}$ को ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

उत्पाद नियम को $- x$ पर लागू करें.

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2

घातांक जोड़कर $- 1$ को ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.2.1

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.2.2.1

$- 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.2.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.3

${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ को $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.4

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.5

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.6

उत्पाद नियम को $i x^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.7

$i^{2}$ को $- 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.8

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.8.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.8.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.8.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.2.1.9

सरल करें.

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

चरण 4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$- 9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- x \geq 81$

चरण 4.4

$- x \geq 81$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- x \geq 81$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

चरण 4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

चरण 4.4.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \leq \frac{81}{- 1}$

चरण 4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

$81$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \leq - 81$

चरण 4.5

$9 - \sqrt{- x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- x \geq 0$

चरण 4.5.2

$- x \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 4.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 4.5.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 4.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \leq 0$

चरण 4.5.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 0]$

चरण 4.6

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

चरण 4.7

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

अंतराल $x < - 81$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1.1

अंतराल $x < - 81$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 84$

चरण 4.7.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 84$ से बदलें.

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

चरण 4.7.1.3

बाईं ओर $- 0.16515138$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 4.7.2

अंतराल $- 81 < x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.1

अंतराल $- 81 < x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 4.7.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

चरण 4.7.2.3

बाईं ओर $7.58578643$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 4.7.3

अंतराल $x > 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.3.1

अंतराल $x > 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 4.7.3.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

चरण 4.7.3.3

बाईं ओर दाईं ओर के बराबर नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 4.7.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 81$ गलत

$- 81 < x < 0$ सही

$x > 0$ गलत

$x < - 81$ गलत

$- 81 < x < 0$ सही

$x > 0$ गलत

चरण 4.8

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 81 \leq x \leq 0$

चरण 5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 81, 0]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

चरण 6