प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 1$

चरण 2

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 3

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 2$

$m = 1$

चरण 4

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 5

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$6 x^{2} + 69 x + 168$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$6 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

चरण 5.1.1.2

$69 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

चरण 5.1.1.3

$168$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

चरण 5.1.1.4

$3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

चरण 5.1.1.5

$3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

चरण 5.1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ है और जिसका योग $b = 23$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.1

$23 x$ में से $23$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

चरण 5.1.2.1.2

$23$ को $7$ जोड़ $16$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

चरण 5.1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

चरण 5.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

चरण 5.1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

चरण 5.1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x + 7$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

चरण 5.2

$3 (2 x + 7) (x + 8)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

चरण 5.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

चरण 5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

चरण 5.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.5

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.6

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.7

$x$ ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.8

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.9

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.13

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.14

$6$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.15

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.16

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

चरण 5.2.17

$21$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

चरण 5.2.18

$48 x$ और $21 x$ जोड़ें.

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

चरण 5.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

चरण 5.4

भाज्य $6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

चरण 5.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

चरण 5.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{2} + 6 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

चरण 5.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

चरण 5.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

चरण 5.9

भाज्य $63 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

चरण 5.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

चरण 5.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $63 x + 63$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

चरण 5.12

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

चरण 5.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

चरण 5.14

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = 6 x + 63$

चरण 6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 1$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = 6 x + 63$

चरण 7