प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 1, x = 0$

चरण 2

चूँकि $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 1$ और $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 1$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 1$

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$3 x^{3} + 2 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$3 x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

चरण 6.1.1.2

$2 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

चरण 6.1.1.3

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

चरण 6.1.2

$x^{2} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

चरण 6.1.2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

चरण 6.1.2.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

चरण 6.1.2.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

चरण 6.1.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$x^{2} (3 x + 2)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

चरण 6.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

चरण 6.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

चरण 6.2

$x (3 x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

चरण 6.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

चरण 6.2.3

$x$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

चरण 6.2.4

$x$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

चरण 6.2.5

$3$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

चरण 6.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

चरण 6.2.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

चरण 6.2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

चरण 6.2.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

चरण 6.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

चरण 6.4

भाज्य $3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

चरण 6.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 6.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{2} + 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

चरण 6.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

चरण 6.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

चरण 6.9

भाज्य $- x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

चरण 6.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

चरण 6.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

चरण 6.12

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

चरण 6.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

चरण 6.14

हल को बहुपद भाग और शेष भाग में विभाजित करें.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

चरण 6.15

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = 3 x - 1$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 1$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = 3 x - 1$

चरण 8