प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 1, x = 3$

चरण 2

चूँकि $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 1$ और $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 1$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 1$

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.1.1.1.2

$- 5 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.1.1.1.3

$6 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.1.1.1.4

$x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.1.1.1.5

$x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.1.1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 5 x + 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $6$ है और जिसका योग $- 5$ है.

$- 3, - 2$

चरण 6.1.1.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$- 3 x^{2} + 6 x + 9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$- 3 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

चरण 6.1.2.1.2

$6 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

चरण 6.1.2.1.3

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

चरण 6.1.2.1.4

$3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

चरण 6.1.2.1.5

$3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

चरण 6.1.2.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ है और जिसका योग $b = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

चरण 6.1.2.2.1.2

$2$ को $- 1$ जोड़ $3$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

चरण 6.1.2.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

चरण 6.1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

चरण 6.1.2.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

चरण 6.1.2.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

चरण 6.1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$x - 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

चरण 6.1.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

चरण 6.1.3.2

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

चरण 6.1.3.3

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

चरण 6.1.3.4

$- (x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

चरण 6.1.3.5

ऋणात्मक रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.5.1

$- (x + 1)$ को $- 1 (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

चरण 6.1.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2

$- x (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

नकारें $x$ .

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.3

$x$ ले जाएं.

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.4

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

चरण 6.2.9

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3

$3 (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

चरण 6.3.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

चरण 6.4

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

चरण 6.5

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

चरण 6.6

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

चरण 6.7

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 6.8

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

चरण 6.9

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

चरण 6.10

भाज्य $3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

चरण 6.11

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

चरण 6.12

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x + 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

चरण 6.13

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

चरण 6.14

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

चरण 6.15

हल को बहुपद भाग और शेष भाग में विभाजित करें.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

चरण 6.16

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 1$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = - \frac{x}{3} + 1$

चरण 8