प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

चरण 1

रेडिकैंड को $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$e^{2 x}$ को घातांक के रूप में फिर से लिखें.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

चरण 2.2

$u$ को $e^{x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - u - 2 = 0$

चरण 2.3

$u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - u - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 2$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 2, 1$

चरण 2.3.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

चरण 2.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 2.3.3

$u - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$u - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 2 = 0$

चरण 2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$u = 2$

चरण 2.3.4

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 2.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 2.3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u - 2) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 2, - 1$

चरण 2.4

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $2$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 = e^{x}$

चरण 2.5

$2 = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

समीकरण को $e^{x} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = 2$

चरण 2.5.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

चरण 2.5.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (2)$

चरण 2.5.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

चरण 2.5.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (2)$

चरण 2.6

$u$ के लिए $u = e^{x}$ में $- 1$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 1 = e^{x}$

चरण 2.7

$- 1 = e^{x}$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

समीकरण को $e^{x} = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} = - 1$

चरण 2.7.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

चरण 2.7.3

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (- 1)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.7.4

$e^{x} = - 1$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.8

उन हलों की सूची बनाइए जो समीकरण को सत्य बनाते हैं.

$x = \ln (2)$

चरण 2.9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \geq \ln (2)$

चरण 3

$\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ को ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

घातांक को ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

चरण 4.2.2.1.2

सरल करें.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$e^{2 x}$ को ${(e^{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

चरण 4.3.1.2

मान लीजिए $u = e^{x}$ . $e^{x}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - u - 2 = 0$

चरण 4.3.1.3

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - u - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.3.1

$- 2, 1$

चरण 4.3.1.3.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

चरण 4.3.1.4

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x}$ से बदलें.

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

चरण 4.3.2

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

चरण 4.3.3

$e^{x} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$e^{x} - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} - 2 = 0$

चरण 4.3.3.2

$x$ के लिए $e^{x} - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$e^{x} = 2$

चरण 4.3.3.2.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

चरण 4.3.3.2.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.2.3.1

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$x \ln (e) = \ln (2)$

चरण 4.3.3.2.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$x \cdot 1 = \ln (2)$

चरण 4.3.3.2.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \ln (2)$

चरण 4.3.4

$e^{x} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$e^{x} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} + 1 = 0$

चरण 4.3.4.2

$x$ के लिए $e^{x} + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$e^{x} = - 1$

चरण 4.3.4.2.2

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

चरण 4.3.4.2.3

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (- 1)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.3.4.2.4

$e^{x} = - 1$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 4.3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \ln (2)$

चरण 5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(\ln (2), \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > \ln (2)}$

चरण 6