प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

चरण 1

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ पर लागू करें.

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

चरण 3.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

${\sqrt[3]{y}}^{7}$ को $\sqrt[3]{y^{7}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

चरण 3.1.2.2

$y^{7}$ को ${(y^{2})}^{3} y$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$y^{6}$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

चरण 3.1.2.2.2

$y^{6}$ को ${(y^{2})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

चरण 3.1.2.3

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

चरण 3.1.3

$4$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

चरण 3.2

समीकरण को $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

चरण 3.3

$\sqrt[3]{y}$ को $y^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

चरण 3.4

समीकरण के दोनों पक्षों को $16384$ से गुणा करें.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

चरण 3.5

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$16384$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

चरण 3.5.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

चरण 3.5.1.2

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{\frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

चरण 3.5.1.2.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

चरण 3.5.1.2.3

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

चरण 3.5.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

चरण 3.5.1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.2.5.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

चरण 3.5.1.2.5.2

$6$ और $1$ जोड़ें.

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

चरण 3.6

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $\frac{3}{7}$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1

घातांक को ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.1.1.1.2

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.1.1.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.1.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.1.1.2

सरल करें.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $16384 x$ पर लागू करें.

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.2.1.1.2

$16384$ को $4^{7}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.2.1.1.3

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.2.1.2

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

चरण 3.7.2.1.3

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ , $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

चरण 5.2.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

घातांक को ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

चरण 5.2.3.1.2

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

चरण 5.2.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

चरण 5.2.3.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ पर लागू करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

चरण 5.2.4

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

चरण 5.2.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

चरण 5.2.4.3

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

चरण 5.2.4.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

चरण 5.2.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

चरण 5.2.4.5

सरल करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

चरण 5.2.5

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

चरण 5.2.6

$64$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

चरण 5.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ का मान ज्ञात करें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$64 x^{\frac{3}{7}}$ को ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

चरण 5.3.3.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

चरण 5.3.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

चरण 5.3.4.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1

$x^{\frac{1}{7}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

चरण 5.3.4.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

चरण 5.3.4.2.2.2

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

चरण 5.3.4.2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ , $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$