प्री-कैलकुलस उदाहरण

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $400$ जोड़ें.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

चरण 1.2

$- 25 x^{2} + 200 x$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

चरण 1.2.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

चरण 1.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$200$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

$200$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

चरण 1.2.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.2.1

$2 \cdot - 25$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

चरण 1.2.3.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

चरण 1.2.3.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{100}{- 25}$

चरण 1.2.3.2.2

$100$ और $- 25$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$100$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

चरण 1.2.3.2.2.2

ऋणात्मक को $\frac{4}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 4$

चरण 1.2.3.2.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$d = - 4$

चरण 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

चरण 1.2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

$200$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

चरण 1.2.4.2.1.2

$4$ को $- 25$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

चरण 1.2.4.2.1.3

$40000$ को $- 100$ से विभाजित करें.

$e = 0 - - 400$

चरण 1.2.4.2.1.4

$- 1$ को $- 400$ से गुणा करें.

$e = 0 + 400$

चरण 1.2.4.2.2

$0$ और $400$ जोड़ें.

$e = 400$

चरण 1.2.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ में प्रतिस्थापित करें.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

चरण 1.3

समीकरण $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ में $- 25 x^{2} + 200 x$ के स्थान पर $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

चरण 1.4

दोनों पक्षों में $400$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $400$ ले जाएं.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

चरण 1.5

$9 y^{2} - 90 y$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

चरण 1.5.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

चरण 1.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$- 90$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.1

$- 90$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

चरण 1.5.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 9$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

चरण 1.5.3.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

चरण 1.5.3.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{- 45}{9}$

चरण 1.5.3.2.2

$- 45$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.1

$- 45$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

चरण 1.5.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.2.2.1

$9$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

चरण 1.5.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

चरण 1.5.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{- 5}{1}$

चरण 1.5.3.2.2.2.4

$- 5$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = - 5$

चरण 1.5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

चरण 1.5.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

$- 90$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

चरण 1.5.4.2.1.2

$4$ को $9$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

चरण 1.5.4.2.1.3

$8100$ को $36$ से विभाजित करें.

$e = 0 - 1 \cdot 225$

चरण 1.5.4.2.1.4

$- 1$ को $225$ से गुणा करें.

$e = 0 - 225$

चरण 1.5.4.2.2

$0$ में से $225$ घटाएं.

$e = - 225$

चरण 1.5.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ में प्रतिस्थापित करें.

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

चरण 1.6

समीकरण $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ में $9 y^{2} - 90 y$ के स्थान पर $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

चरण 1.7

दोनों पक्षों में $225$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $- 225$ ले जाएं.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

चरण 1.8

$400 - 400 + 225$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$400$ में से $400$ घटाएं.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

चरण 1.8.2

$0$ और $225$ जोड़ें.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

चरण 1.9

प्रत्येक पद को $225$ से विभाजित करके दाईं भुजा को एक के बराबर करें.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

चरण 1.10

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

चरण 4

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

चरण 5

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

चरण 5.2

$\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

चरण 5.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

चरण 5.2.1.3

$\frac{5}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

चरण 5.2.1.4

$\frac{5}{3} \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.4.1

$\frac{5}{3}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

चरण 5.2.1.4.2

$5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

चरण 5.2.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

चरण 5.2.2

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 5.2.3

$5$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

चरण 5.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

चरण 5.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

चरण 5.2.5.2

$- 20$ और $15$ जोड़ें.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

चरण 5.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

चरण 6

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

चरण 6.2

$- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

चरण 6.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

चरण 6.2.1.3

$x$ और $\frac{5}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

चरण 6.2.1.4

$- \frac{5}{3} \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

चरण 6.2.1.4.2

$4$ और $\frac{5}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

चरण 6.2.1.4.3

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

चरण 6.2.1.5

$5$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

चरण 6.2.2

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

चरण 6.2.3

$5$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

चरण 6.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

चरण 6.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

चरण 6.2.5.2

$20$ और $15$ जोड़ें.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

चरण 7

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

चरण 8

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ और $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ एसिम्प्टोट हैं.

अनंतस्पर्शी: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

चरण 9