कैलकुलस उदाहरण

$y = {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ को $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}]$

चरण 1.2

$\ln (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ से बदलें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ है.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (5 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sin (5 x)$ के रूप में सेट करें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (5 x)$ से बदलें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 5

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ को $\csc (5 x)$ में बदलें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

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चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 6.2

$u_{3}$ के संबंध में $\sin (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{3})$ है.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 6.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 7

अवकलन करें.

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चरण 7.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 7.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 7.3.1

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 7.3.2

$5$ को $\csc (5 x) \cos (5 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

चरण 8

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{1}{x})$

चरण 9

$\ln (\sin (5 x))$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x})$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

चरण 10.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 10.2.1

$5$ को $e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)) \csc (5 x) \cos (5 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

चरण 10.2.2

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}$ और $\frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$ को मिलाएं.

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x) \csc (5 x) \cos (5 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$

चरण 10.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \cos (5 x) \csc (5 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$