कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 6)}^{2}$ ; $(3, - 18)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 3$ और $y = - 18$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 - x$ और $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{2}$ है.

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{2}] + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} - 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 6$ के रूप में सेट करें.

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 6$ से बदलें.

$(1 - x) (2 (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $1 - x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6] + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (2 x + 0) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (2 x) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

चरण 1.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 1.3.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 1.3.9

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

चरण 1.3.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.11.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} \cdot - 1$

चरण 1.3.11.2

$- 1$ को ${(x^{2} - 6)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x - 1 \cdot {(x^{2} - 6)}^{2}$

चरण 1.3.11.3

$- 1 {(x^{2} - 6)}^{2}$ को $- {(x^{2} - 6)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

चरण 1.4.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

चरण 1.4.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$(4 - 4 x) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

चरण 1.4.4

$(4 - 4 x) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$ में से $x^{2} - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$(4 - 4 x) (x^{2} - 6) x$ में से $x^{2} - 6$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 6)}^{2}$

चरण 1.4.4.2

$- {(x^{2} - 6)}^{2}$ में से $x^{2} - 6$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 6) (- (x^{2} - 6))$

चरण 1.4.4.3

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 6) (- (x^{2} - 6))$ में से $x^{2} - 6$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 6))$

चरण 1.4.5

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 6))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.6.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.6.2.1

$x$ ले जाएं.

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.6.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 6) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.6.4

$- 1$ को $- 6$ से गुणा करें.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 6) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.7

$- 4 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$(4 x - 5 x^{2} + 6) (x^{2} - 6)$

चरण 1.4.8

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(4 x - 5 x^{2} + 6) (x^{2} - 6)$ का प्रसार करें.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.9.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.9.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.1.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.9.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.1.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.2

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.9.3.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$4 x^{3} - 24 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.3.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.4

$- 6$ को $- 5$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} + 30 x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

चरण 1.4.9.5

$6$ को $- 6$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} + 30 x^{2} + 6 x^{2} - 36$

चरण 1.4.10

$30 x^{2}$ और $6 x^{2}$ जोड़ें.

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} + 36 x^{2} - 36$

चरण 1.5

$x = 3$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$4 {(3)}^{3} - 24 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 27 - 24 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

चरण 1.6.1.2

$4$ को $27$ से गुणा करें.

$108 - 24 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

चरण 1.6.1.3

$- 24$ को $3$ से गुणा करें.

$108 - 72 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

चरण 1.6.1.4

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$108 - 72 - 5 \cdot 81 + 36 {(3)}^{2} - 36$

चरण 1.6.1.5

$- 5$ को $81$ से गुणा करें.

$108 - 72 - 405 + 36 {(3)}^{2} - 36$

चरण 1.6.1.6

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$108 - 72 - 405 + 36 \cdot 9 - 36$

चरण 1.6.1.7

$36$ को $9$ से गुणा करें.

$108 - 72 - 405 + 324 - 36$

चरण 1.6.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$108$ में से $72$ घटाएं.

$36 - 405 + 324 - 36$

चरण 1.6.2.2

$36$ में से $405$ घटाएं.

$- 369 + 324 - 36$

चरण 1.6.2.3

$- 369$ और $324$ जोड़ें.

$- 45 - 36$

चरण 1.6.2.4

$- 45$ में से $36$ घटाएं.

$- 81$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 81$ और दिए गए बिंदु $(3, - 18)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (- 18) = - 81 \cdot (x - (3))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 18 = - 81 \cdot (x - 3)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 81 \cdot (x - 3)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y + 18 = 0 + 0 - 81 \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y + 18 = - 81 \cdot (x - 3)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 18 = - 81 x - 81 \cdot - 3$

चरण 2.3.1.4

$- 81$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y + 18 = - 81 x + 243$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $18$ घटाएं.

$y = - 81 x + 243 - 18$

चरण 2.3.2.2

$243$ में से $18$ घटाएं.

$y = - 81 x + 225$

चरण 3