कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{(1 + x^{2})}$ , $(- 1, \frac{1}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - 1$ और $y = \frac{1}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ को ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

चरण 1.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

चरण 1.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

चरण 1.4.2.3

$x$ और $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 1.4.2.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 1.5

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$- \frac{2 (- 1)}{{(1 + {(- 1)}^{2})}^{2}}$

चरण 1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{- 2}{{(1 + {(- 1)}^{2})}^{2}}$

चरण 1.6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 2}{{(1 + 1)}^{2}}$

चरण 1.6.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{- 2}{2^{2}}$

चरण 1.6.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 2}{4}$

चरण 1.6.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 (- 1)}{4}$

चरण 1.6.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.3.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

चरण 1.6.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

चरण 1.6.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{- 1}{2}$

चरण 1.6.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{1}{2}$

चरण 1.6.4

$- - \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2})$

चरण 1.6.4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $\frac{1}{2}$ और दिए गए बिंदु $(- 1, \frac{1}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (x - (- 1))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{2} \cdot (x + 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (x + 1)$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 2.3.1.4

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 2.3.1.5

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 2.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x + 1 + 1}{2}$

चरण 2.3.2.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \frac{x + 2}{2}$

चरण 2.3.2.4

भिन्न $\frac{x + 2}{2}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$y = \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

चरण 2.3.2.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x}{2} + 1$

चरण 2.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{1}{2} x + 1$

चरण 3