कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{4 x + 7}$ , $x = 4$

चरण 1

$x = 4$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$4$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt{4 (4) + 7}$

चरण 1.2

$\sqrt{4 (4) + 7}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \sqrt{16 + 7}$

चरण 1.2.2

$16$ और $7$ जोड़ें.

$y = \sqrt{23}$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = \sqrt{23}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{4 x + 7}$ को ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 4 x + 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 x + 7$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x + 7$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 2.9

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 2.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 2.11

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

चरण 2.12

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

चरण 2.13

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$4$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

चरण 2.13.2

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.13.3

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.1

$2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.15

$x = 4$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{{(4 (4) + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.16

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.16.1

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2}{{(16 + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.16.2

$16$ और $7$ जोड़ें.

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ और दिए गए बिंदु $(4, \sqrt{23})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\sqrt{23}) = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (4))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \sqrt{23} = 0 + 0 + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

चरण 3.3.1.4

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

चरण 3.3.1.5

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 4}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.1.5.2

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\sqrt{23}$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23}$

चरण 3.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$\sqrt{23}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23} \cdot \frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.2

$\sqrt{23}$ और $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + \sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.4.1

$\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.4.1.1

$\sqrt{23}$ को $23^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2}} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1 + 1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.4.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{1}}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.4.3

$- 8$ और $23$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4