कैलकुलस उदाहरण

$y = {(e^{3 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 0$ और $y = 9$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{3 x} - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $e^{3 x} - 4$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

चरण 1.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $e^{3 x} - 4$ से बदलें.

$2 (e^{3 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - 4]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{3 x} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$2 (e^{3 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$2 (e^{3 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (e^{3 x} - 4) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.4.3.2

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (e^{3 x} - 4) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

चरण 1.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 (e^{3 x} - 4) (3 e^{3 x} + 0)$

चरण 1.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.5.1

$3 e^{3 x}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (e^{3 x} - 4) (3 e^{3 x})$

चरण 1.4.5.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 (e^{3 x} - 4) e^{3 x}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(6 e^{3 x} + 6 \cdot - 4) e^{3 x}$

चरण 1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 e^{3 x} e^{3 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

चरण 1.5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

घातांक जोड़कर $e^{3 x}$ को $e^{3 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1

$e^{3 x}$ ले जाएं.

$6 (e^{3 x} e^{3 x}) + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

चरण 1.5.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$6 e^{3 x + 3 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

चरण 1.5.3.1.3

$3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$6 e^{6 x} + 6 \cdot - 4 e^{3 x}$

चरण 1.5.3.2

$6$ को $- 4$ से गुणा करें.

$6 e^{6 x} - 24 e^{3 x}$

चरण 1.6

$x = 0$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$6 e^{6 (0)} - 24 e^{3 (0)}$

चरण 1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1.1

$6$ को $0$ से गुणा करें.

$6 e^{0} - 24 e^{3 (0)}$

चरण 1.7.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$6 \cdot 1 - 24 e^{3 (0)}$

चरण 1.7.1.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - 24 e^{3 (0)}$

चरण 1.7.1.4

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$6 - 24 e^{0}$

चरण 1.7.1.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$6 - 24 \cdot 1$

चरण 1.7.1.6

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$6 - 24$

चरण 1.7.2

$6$ में से $24$ घटाएं.

$- 18$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 18$ और दिए गए बिंदु $(0, 9)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (9) = - 18 \cdot (x - (0))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 9 = - 18 \cdot (x + 0)$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y - 9 = - 18 x$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $9$ जोड़ें.

$y = - 18 x + 9$

चरण 3