कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = - \frac{π}{4}$ और $y = 1$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\tan (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\tan (x)$ से बदलें.

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

चरण 1.3

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

चरण 1.4

$x = - \frac{π}{4}$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.3

$\sec (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{2}}$ है.

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.5.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.6.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.7.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.7.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

चरण 1.5.9

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

चरण 1.5.10

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा ऋणात्मक है.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

चरण 1.5.11

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$4 (- 1 \cdot 1)$

चरण 1.5.12

$4 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.12.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \cdot - 1$

चरण 1.5.12.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4$

चरण 2

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ढलान $- 4$ और दिए गए बिंदु $(- \frac{π}{4}, 1)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

चरण 2.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

चरण 2.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

चरण 2.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

चरण 2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

चरण 2.3.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

चरण 2.3.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

चरण 2.3.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

चरण 2.3.1.5

$- 1 π$ को $- π$ के रूप में फिर से लिखें.

$y - 1 = - 4 x - π$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y = - 4 x - π + 1$

चरण 3