कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

चरण 1

$x = 1$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$1$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

चरण 1.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

चरण 1.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

चरण 1.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

चरण 1.2.4

$\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

चरण 1.2.4.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

चरण 1.2.4.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

चरण 1.2.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

चरण 1.2.4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$2$ में से $1$ घटाएं.

$y = \ln (1 + 2)$

चरण 1.2.4.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y = \ln (3)$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = \ln (3)$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ है.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

चरण 2.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

चरण 2.2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

चरण 2.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

चरण 2.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

चरण 2.2.7

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{4}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

चरण 2.2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

चरण 2.2.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

चरण 2.2.9.2

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

चरण 2.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

चरण 2.4.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

चरण 2.4.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

चरण 2.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

चरण 2.4.1.5

$2$ में से $1$ घटाएं.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

चरण 2.4.1.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

चरण 2.4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

चरण 2.4.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

चरण 2.4.2.1.3

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

चरण 2.4.2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$- 2$ और $8$ जोड़ें.

$6 (\frac{1}{3})$

चरण 2.4.2.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$3 (2) \frac{1}{3}$

चरण 2.4.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

चरण 2.4.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $2$ और दिए गए बिंदु $(1, \ln (3))$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

चरण 3.3.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (3)$ जोड़ें.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

चरण 4