कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ ; $x = 2$

चरण 1

$x = 2$ के संगत $y$ -मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$2$ को $x$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

चरण 1.2

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \sqrt{4 + 21}$

चरण 1.2.2

$4$ और $21$ जोड़ें.

$y = \sqrt{25}$

चरण 1.2.3

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt{5^{2}}$

चरण 1.2.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$y = 5$

चरण 2

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 2$ और $y = 5$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x^{2} + 21}$ को ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + 21$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 21$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 21$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 21$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

चरण 2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $21$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $21$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

चरण 2.11

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

चरण 2.11.2

$2$ और $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

चरण 2.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.11.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.11.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.12

$x = 2$ पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.13

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.13.2

$4$ और $21$ जोड़ें.

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.13.3

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.13.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 2.13.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 2.13.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{5^{1}}$

चरण 2.13.6

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{2}{5}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $\frac{2}{5}$ और दिए गए बिंदु $(2, 5)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (5) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - 5 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - 5 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - 5 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.4

$\frac{2}{5}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - 5 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

चरण 3.3.1.5

$\frac{2}{5} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$\frac{2}{5}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$y - 5 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

चरण 3.3.1.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y - 5 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

चरण 3.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - 5 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

चरण 3.3.2

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 5$

चरण 3.3.2.2

$5$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.3.2.3

$5$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

चरण 3.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 5 \cdot 5}{5}$

चरण 3.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.1

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 25}{5}$

चरण 3.3.2.5.2

$- 4$ और $25$ जोड़ें.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

चरण 3.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{2}{5} x + \frac{21}{5}$

चरण 4