कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{18 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} + 4$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{3} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 0$

चरण 1.1.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{6}{\sqrt[3]{u}} d u$

चरण 2

चूँकि $6$ बटे $u$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

चरण 3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 3.1

$\sqrt[3]{u}$ को $u^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

चरण 3.2

$u^{\frac{1}{3}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$6 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

चरण 3.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 3.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$6 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

चरण 3.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$6 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ है.

$6 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$6 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ को $6 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

चरण 5.2

$6 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ को $9 u^{\frac{2}{3}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$9 u^{\frac{2}{3}} + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + 4$ से बदलें.

$9 {(x^{3} + 4)}^{\frac{2}{3}} + C$