कैलकुलस उदाहरण

$\int (x^{2} + x) \sqrt[3]{x + 7} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x + 7$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x + 7$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x + 7$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

चरण 2

$\sqrt[3]{u}$ को $u^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3

$({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${(u - 7)}^{2}$ को $(u - 7) (u - 7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int ((u - 7) (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u (u - 7) - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u) u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.10

$u$ और $- 7$ को पुन: क्रमित करें.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.11

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.12

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.13

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 + 1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.14

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{2} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{2 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.16

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\int u^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.17

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.19

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.19.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int u^{\frac{6 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.19.2

$6$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.20

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.21

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.22

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.23

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.24

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.25

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.26

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.27

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.28

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.29

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.30

$- 7$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.31

$- 7 u^{\frac{4}{3}}$ में से $7 u^{\frac{4}{3}}$ घटाएं.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.32

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.33

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.34

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.35

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.36

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.37

$- 14 u^{\frac{4}{3}}$ और $49 u^{\frac{1}{3}}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int u^{\frac{7}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.38

$u^{\frac{7}{3}}$ और $49 u^{\frac{1}{3}}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.39

$- 14 u^{\frac{4}{3}}$ ले जाएं.

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 3.40

$- 14 u^{\frac{4}{3}}$ ले जाएं.

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$49 u^{\frac{1}{3}}$ में से $7 u^{\frac{1}{3}}$ घटाएं.

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 4.2

$u^{\frac{4}{3}}$ में से $14 u^{\frac{4}{3}}$ घटाएं.

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 6

चूँकि $42$ बटे $u$ अचर है, $42$ को समाकलन से हटा दें.

$42 \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ है.

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{7}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}}$ है.

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 9

$\frac{3}{4}$ और $u^{\frac{4}{3}}$ को मिलाएं.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 10

चूँकि $- 13$ बटे $u$ अचर है, $- 13$ को समाकलन से हटा दें.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 \int u^{\frac{4}{3}} d u$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{4}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ है.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{3}{7}$ और $u^{\frac{7}{3}}$ को मिलाएं.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

चरण 12.2

सरल करें.

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - 13 (\frac{3}{7}) u^{\frac{7}{3}} + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$- 13$ और $\frac{3}{7}$ को मिलाएं.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 13 \cdot 3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

चरण 14.2

$- 13$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

चरण 14.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 7$ से बदलें.

$\frac{63}{2} {(x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(x + 7)}^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} {(x + 7)}^{\frac{7}{3}} + C$