कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{9 r^{2}}{\sqrt{1 - r^{3}}} d r$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 - r^{3}$ .फिर $d u = - 3 r^{2} d r$ , तो $\frac{1}{- 3 r^{2}} d u = d r$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 1 - r^{3}$ . $\frac{d u}{d r}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$1 - r^{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d r} [1 - r^{3}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $1 - r^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ है.

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $r$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d r} [- r^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $- r^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ है.

$0 - \frac{d}{d r} [r^{3}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$0 - (3 r^{2})$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 3 r^{2}$

चरण 1.1.4

$0$ में से $3 r^{2}$ घटाएं.

$- 3 r^{2}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- 3}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{3}{\sqrt{u}} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{3}{\sqrt{u}} d u$

चरण 4

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$- (3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 5.3

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 5.4

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

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चरण 5.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 5.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 5.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ को $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 7.2

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ को $- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - r^{3}$ से बदलें.

$- 6 {(1 - r^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$