कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\ln (\sqrt{x})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

चरण 1.1.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 1.1.5

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 1.1.6

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.1.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.1.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 1.1.8.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 1.1.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 1.1.10

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.1.11

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

चरण 1.1.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.12.1

$2$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.12.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.13

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.1

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 1.1.13.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.13.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

चरण 1.1.13.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.1.13.1.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 x^{1}}$

चरण 1.1.13.2

$2 x^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 x}$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

चरण 4.2

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ को $1 {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

चरण 4.3

${u_{2}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

${u_{2}}^{2} + C$

चरण 5

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (\sqrt{x})$ से बदलें.

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$