कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{5 y - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

चरण 1

$5 y - 10$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$5 y$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{5 (y) - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

चरण 1.2

$- 10$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{5 y + 5 \cdot - 2}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

चरण 1.3

$5 y + 5 \cdot - 2$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{5 (y - 2)}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

चरण 2

मान लीजिए $u = y^{2} - 4 y + 11$ .फिर $d u = (2 y - 4) d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = (y - 2) d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u = y^{2} - 4 y + 11$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$y^{2} - 4 y + 11$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 4 y + 11]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

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चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} - 4 y + 11$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 y + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d y} [- 4 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 4 y$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 y - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [11]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 y - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [11]$

चरण 2.1.3.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y - 4 + \frac{d}{d y} [11]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $11$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $11$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y - 4 + 0$

चरण 2.1.4.2

$2 y - 4$ और $0$ जोड़ें.

$2 y - 4$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

$\frac{5}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{5}{u \cdot 2} d u$

चरण 3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{5}{2 u} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{5}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{5}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 6

सरल करें.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2} - 4 y + 11$ से बदलें.

$\frac{5}{2} \ln (| y^{2} - 4 y + 11 |) + C$