कैलकुलस उदाहरण

$\int x \sin (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{u}{2}$ और $\sin (u)$ को मिलाएं.

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.2

$\frac{u \sin (u)}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

चरण 2.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

चरण 4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = u$ और $dv = \sin (u)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

चरण 5

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

चरण 6.2

$\int \cos (u) d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

चरण 7

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

चरण 8

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ को $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

चरण 10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 10.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.3.2

$- 2 x \cos (2 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.4

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.5

$\cos (2 x)$ और $\frac{x}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 10.6

$\frac{1}{4}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 10.7

गुणनखंडों को $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$