कैलकुलस उदाहरण

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

चरण 1

${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ को $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

चरण 2

FOIL विधि का उपयोग करके $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

चरण 2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

चरण 2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.1.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.3

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$e^{- x}$ ले जाएं.

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.3.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.4

$- e^{0}$ को सरल करें.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.5

घातांक जोड़कर $e^{- x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.5.3

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.6

$- e^{0}$ को सरल करें.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

चरण 3.1.7

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 3.1.8

घातांक जोड़कर $e^{- x}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.8.1

$e^{- x}$ ले जाएं.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

चरण 3.1.8.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

चरण 3.1.8.3

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

चरण 3.1.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

चरण 3.1.10

$e^{- 2 x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

चरण 3.2

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2$ और $\frac{u_{1}}{2}$ को मिलाएं.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- 2 u_{1}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 5.2.2.4

$- u_{1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

चरण 8

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = - u_{1}$ .फिर $d u_{2} = - d u_{1}$ , तो $- d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = - u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$- u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $- 1$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $- u_{1}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 11

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 12

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

चरण 13

सरल करें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

चरण 14.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

चरण 14.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

चरण 15.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

चरण 15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

चरण 15.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

चरण 15.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.2.1

$- 4 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

चरण 15.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

चरण 15.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

चरण 15.3.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{- 2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$