कैलकुलस उदाहरण

$\int \ln (2 x + 1) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x + 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 2 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\ln (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

चरण 4

$\int w d v = w v - \int v d w$ , जहां $w = \ln (u)$ और $dv = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$u$ और $\frac{1}{u}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

चरण 5.2

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

चरण 7

सरल करें.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

चरण 9.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

चरण 9.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

चरण 9.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\ln (2 x + 1)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

चरण 9.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

चरण 9.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

चरण 9.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

चरण 9.3.3

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.3

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.5

$\ln (2 x + 1) x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.6

$\ln (2 x + 1) x$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.8.1

$\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ में से $\ln (2 x + 1)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.8.1.1

$\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ में से $\ln (2 x + 1)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.8.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.8.1.3

$\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ में से $\ln (2 x + 1)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.8.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

चरण 9.4.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

चरण 9.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

चरण 10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$