कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{4} \frac{5}{3 x + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 x + 1$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 3 x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 1.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 3 x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 3 x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 12 + 1$

चरण 1.5.2

$12$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 13$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{5}{u}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u \cdot 3} d u$

चरण 2.2

$3$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{1}^{13} \frac{5}{3 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{5}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{5}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{5}{3} \int_{1}^{13} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{5}{3} \ln (| u |)]_{1}^{13}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$13$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{5}{3} ((\ln (| 13 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{5}{3} \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$

चरण 5.2.2

$\frac{5}{3}$ और $\ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$ को मिलाएं.

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})}{3}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $13$ के बीच की दूरी $13$ है.

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 1 |})}{3}$

चरण 5.3.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{5 \ln (\frac{13}{1})}{3}$

चरण 5.3.3

$13$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

दशमलव रूप:

$4.27491559 \dots$