कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{x^{2} + 2 x} d x$

चरण 1

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

चरण 1.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

चरण 1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = 1$

चरण 1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

चरण 1.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

चरण 1.4.2.1.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

चरण 1.4.2.1.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

चरण 1.4.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.4.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 0 - 1$

चरण 1.4.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$e = - 1$

चरण 1.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप ${(x + 1)}^{2} - 1$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int \sqrt{{(x + 1)}^{2} - 1} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u^{2} - 1} d u$

चरण 3

मान लीजिए $u = \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 4.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 4.2.2

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 4.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 4.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 5

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 10

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 11

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 12

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t)$ और $d v = \sec^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 13

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 14

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 16

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 16.2

$\tan^{2} (t)$ और $\sec (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 17

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

चरण 18

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 18.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 18.3

$\sec (t)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 19

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

चरण 20

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

चरण 21

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

चरण 22

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

चरण 23

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 24

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

चरण 25

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

चरण 26

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 27

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 28

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 29

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 29.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 29.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 30

$\int \sec^{3} (t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

चरण 31

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

चरण 32

सरल करें.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 33

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 33.1

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (u)$ से बदलें.

$- \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (u)) \tan (arcsec (u)) + \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |)) + C$

चरण 33.2

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$