कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \ln (x^{2})$ .फिर $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \ln (x^{2})$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\ln (x^{2})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

चरण 1.1.3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x^{2}} x$

चरण 1.1.3.2.2

$\frac{2}{x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{x^{2}}$

चरण 1.1.3.2.3

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

चरण 1.1.3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

चरण 1.1.3.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

चरण 1.1.3.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = \ln (x^{2})$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = \ln (1)$

चरण 1.3.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = \ln (x^{2})$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

घातांक को ${(e^{8})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

चरण 1.5.1.2

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

चरण 1.5.2

$16$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

चरण 1.5.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

चरण 1.5.4

$16$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 16$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$16$ पर और $0$ पर $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 4.2

$16$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 4.3

$\frac{1}{3}$ और $4096$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

चरण 4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

चरण 4.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

चरण 4.4.2.2

$0$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

चरण 4.4.3

$\frac{4096}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

चरण 4.4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{4096}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

चरण 4.4.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4096}{6}$

चरण 4.4.4.3

$4096$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.4.3.1

$4096$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2048)}{6}$

चरण 4.4.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.4.3.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

चरण 4.4.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

चरण 4.4.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2048}{3}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2048}{3}$

दशमलव रूप:

$682.\overline{6}$

मिश्रित संख्या रूप:

$682 \frac{2}{3}$