कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = \frac{3}{x}$ .फिर $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ , तो $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = \frac{3}{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\frac{3}{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3}{x}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.1.3

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$3 (- x^{- 2})$

चरण 1.1.5

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 x^{- 2}$

चरण 1.1.6

सरल करें.

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चरण 1.1.6.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.1.6.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 1.1.6.2.1

$- 3$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3}{x^{2}}$

चरण 1.1.6.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{x^{2}}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = \frac{3}{x}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

चरण 1.3

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = 3$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = \frac{3}{x}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

चरण 1.5

$3$ को $3$ से विभाजित करें.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

चरण 2

चूँकि $- \frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $- \frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

चरण 3

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

चरण 4

$1$ पर और $3$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

चरण 5

सरल करें.

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

दशमलव रूप:

$5.78908503 \dots$