कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x - 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x - 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

चरण 2

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

चरण 4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 5

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 6

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

${(u + 2)}^{2}$ को $(u + 2) (u + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 6.5

$u$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 7

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 8

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 11

$2 u$ और $2 u$ जोड़ें.

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 12

$u^{2} + 4 u + 4$ को $u$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

चरण 12.2

भाज्य $u^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

चरण 12.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

चरण 12.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

चरण 12.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

चरण 12.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

चरण 12.7

भाज्य $4 u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

चरण 12.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

चरण 12.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

चरण 12.10

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

चरण 12.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 13

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 14

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 15

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 16

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 17

चूँकि $4$ बटे $u$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 18

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 19

चूँकि $7$ बटे $u$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 20

$u + 2$ को $u$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$u$

$0$

$u$

$2$

चरण 20.2

भाज्य $u$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $u$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

चरण 20.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

चरण 20.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $u + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

चरण 20.5

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

चरण 20.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 21

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 22

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 23

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 24

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

चरण 25

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

चरण 26

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 27

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 28

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

चरण 29

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 29.1

सरल करें.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

चरण 29.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 29.2.1

$8 u$ और $7 u$ जोड़ें.

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

चरण 29.2.2

$8 \ln (| u |)$ और $14 \ln (| u |)$ जोड़ें.

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

चरण 29.2.3

$22 \ln (| u |)$ में से $3 \ln (| u |)$ घटाएं.

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

चरण 30

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$