कैलकुलस उदाहरण

$\int 12 {(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{2} (y^{3} + 2 y) d y$

चरण 1

मान लीजिए $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ .फिर $d u = (4 y^{3} + 8 y) d y$ , तो $\frac{1}{4} d u = (y^{3} + 2 y) d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$y^{4} + 4 y^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{4} + 4 y^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 y^{3} + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 y^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$4 y^{3} + 4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 y^{3} + 4 (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$4 y^{3} + 8 y + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 y^{3} + 8 y + 0$

चरण 1.1.4.2

$4 y^{3} + 8 y$ और $0$ जोड़ें.

$4 y^{3} + 8 y$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

चरण 2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int 3 u^{2} \cdot 1 d u$

चरण 2.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 3 u^{2} d u$

चरण 3

चूँकि $3$ बटे $u$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int u^{2} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ को $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

चरण 5.2

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ को $1 u^{3} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 u^{3} + C$

चरण 5.3

$u^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$u^{3} + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ से बदलें.

${(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{3} + C$