कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$e^{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{x^{2}} (2 x)$

चरण 1.1.4

सरल करें.

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चरण 1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 e^{x^{2}} x$

चरण 1.1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x e^{x^{2}}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = e^{0}$

चरण 1.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{1^{2}}$

चरण 1.5

सरल करें.

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चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = e^{1}$

चरण 1.5.2

सरल करें.

$u_{upper} = e$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e}$

चरण 3

उत्तर को सरल करें.

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चरण 3.1

$e$ पर और $1$ पर $\frac{1}{2} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} e) - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.2

$\frac{1}{2}$ और $e$ को मिलाएं.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.85914091 \dots$