कैलकुलस उदाहरण

$\int x \ln (1 + x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (1 + x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (1 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\ln (1 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 2.2

$\ln (1 + x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 4

$x^{2}$ और $\frac{1}{x + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

चरण 5

$x^{2}$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

चरण 5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

चरण 5.7

भाज्य $- x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

चरण 5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

चरण 5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

चरण 5.10

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

चरण 5.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

चरण 9

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 9.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 9.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 9.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

चरण 11.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (1 + x)$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

चरण 11.2.2

$\frac{\ln (1 + x)}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

चरण 11.2.3

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 11.2.4

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

चरण 11.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

चरण 11.2.6

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

चरण 11.2.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 11.2.8

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 11.2.9

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.9.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 11.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 11.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 11.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 11.2.9.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\ln (| x + 1 |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

चरण 13.2

$\ln (| x + 1 |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

चरण 13.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

चरण 13.4

$2$ को $\ln (| x + 1 |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

चरण 13.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

चरण 13.6

$- - x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

चरण 13.6.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$