कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} + 5$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} + 5$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{3} + 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 0$

चरण 1.1.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{3} + 5$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{lower} = - 1 + 5$

चरण 1.3.2

$- 1$ और $5$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{3} + 5$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 5$

चरण 1.5.2

$1$ और $5$ जोड़ें.

$u_{upper} = 6$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$6$ पर और $4$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.2

$\frac{2}{3}$ और $6^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

चरण 4.3.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

चरण 4.3.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

चरण 4.3.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

चरण 4.3.1.4

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

चरण 4.3.2.2

$- 8$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

चरण 4.3.2.3

$- 8$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

चरण 4.3.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

दशमलव रूप:

$4.46462563 \dots$