कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

चरण 1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 1 + \frac{1}{x}$ .फिर $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , तो $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u = 1 + \frac{1}{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$1 + \frac{1}{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

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चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1.3.1

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$0 - x^{- 2}$

चरण 2.1.4

सरल करें.

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चरण 2.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

चरण 2.1.4.2

$0$ में से $\frac{1}{x^{2}}$ घटाएं.

$- \frac{1}{x^{2}}$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - \sqrt{u} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \frac{1}{x}$ से बदलें.

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$