कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

चरण 2.2

$2$ को $1 + 3^{u_{1}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ .फिर $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1 + 3^{u_{1}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

चरण 4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $1 + 3^{u_{1}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

चरण 4.1.2.2

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

चरण 4.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $3$ है.

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

चरण 4.1.4

$0$ और $3^{u_{1}} \ln (3)$ जोड़ें.

$3^{u_{1}} \ln (3)$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

चरण 5

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{\ln (3)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{\ln (3)}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{\ln (3)}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ को $\ln (3)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 8

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 9

सरल करें.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 10

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + 3^{u_{1}}$ से बदलें.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

चरण 10.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$