कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sqrt[3]{x^{2} + 4} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 1.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

${\sqrt{u - 4}}^{2}$ को $u - 4$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\sqrt{u - 4}$ को ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.1.5

सरल करें.

$\int (u - 4) \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 2.1.2

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt[3]{u}$ को मिलाएं.

$\int (u - 4) \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

चरण 2.2

$\sqrt[3]{u}$ को $u^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.2

$u$ और $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.7

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 3.8

$- 4$ और $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 4 u^{\frac{1}{3}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2} d u$

चरण 4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2 (1)} d u$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot 1} d u$

चरण 4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{3}}}{1} d u$

चरण 4.2.4

$- 2 u^{\frac{1}{3}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{4}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 8

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{3}}$ का समाकलन $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - 2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ को $\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - 2 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$- 2$ और $\frac{3}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3.2

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 6}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3.3

$- 6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.1

$- 6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 (- 3)}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} + \frac{- 3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 10.3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{3}{14} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4$ से बदलें.

$\frac{3}{14} {(x^{2} + 4)}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{4}{3}} + C$