कैलकुलस उदाहरण

$\int {(1 + 2 x)}^{4} \cdot 3 x d x$

चरण 1

u-प्रतिस्थापन का उपयोग करके यह अभिन्न पूरा नहीं किया जा सका. Mathway दूसरी विधि का उपयोग करेगा.

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\int 3 {(1 + 2 x)}^{4} x d x$

चरण 2.2

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\int 3 (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 3 (1 + 4 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.6

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.7

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (2^{2} x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.8

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (4 x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.9

$4$ को $6$ से गुणा करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.10

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.11

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (2^{3} x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.12

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (8 x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.13

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

चरण 2.3.14

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 2^{4} x^{4}) x d x$

चरण 2.3.15

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 16 x^{4}) x d x$

चरण 2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int (3 \cdot 1 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\int (3 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

चरण 2.5.2

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$\int (3 + 24 x + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

चरण 2.5.3

$24$ को $3$ से गुणा करें.

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

चरण 2.5.4

$32$ को $3$ से गुणा करें.

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 3 (16 x^{4})) x d x$

चरण 2.5.5

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 48 x^{4}) x d x$

चरण 2.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int 3 x + 24 x \cdot x + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

$x$ ले जाएं.

$\int 3 x + 24 (x \cdot x) + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

$x$ ले जाएं.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x \cdot x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x^{1} x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{1 + 2} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.3

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.1

$x$ ले जाएं.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x \cdot x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.3.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x^{1} x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{1 + 3} + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.3.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{4} x d x$

चरण 2.7.4

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.4.1

$x$ ले जाएं.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x \cdot x^{4}) d x$

चरण 2.7.4.2

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x^{1} x^{4}) d x$

चरण 2.7.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{1 + 4} d x$

चरण 2.7.4.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{5} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 3 x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 4

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 6

चूँकि $24$ बटे $x$ अचर है, $24$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 8

चूँकि $72$ बटे $x$ अचर है, $72$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 \int x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 10

चूँकि $96$ बटे $x$ अचर है, $96$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 \int x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 48 x^{5} d x$

चरण 12

चूँकि $48$ बटे $x$ अचर है, $48$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 \int x^{5} d x$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} x^{6}$ है.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

सरल करें.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

चरण 14.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\frac{1}{6}$ और $x^{6}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 \frac{x^{6}}{6} + C$

चरण 14.2.2

$48$ और $\frac{x^{6}}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{48 x^{6}}{6} + C$

चरण 14.2.3

$48$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.1

$48 x^{6}$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6} + C$

चरण 14.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.3.2.1

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 (1)} + C$

चरण 14.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 \cdot 1} + C$

चरण 14.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{8 x^{6}}{1} + C$

चरण 14.2.3.2.4

$8 x^{6}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 8 x^{6} + C$

चरण 14.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3}{2} x^{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96}{5} x^{5} + 8 x^{6} + C$