कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 1.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

चरण 1.4

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

चरण 1.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

चरण 1.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = x^{\frac{1}{2}}$ .फिर $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , तो $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = x^{\frac{1}{2}}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 2.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 2.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 2.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 2.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

चरण 2.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = x^{\frac{1}{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

चरण 2.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

चरण 2.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = 0^{1}$

चरण 2.3.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = x^{\frac{1}{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

उत्पाद नियम को $\frac{π^{2}}{4}$ पर लागू करें.

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

घातांक को ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.5.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.5.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.5.2.2

सरल करें.

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.5.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.5.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 2.5.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 2.5.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

चरण 2.5.3.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

चरण 5

$\frac{π}{2}$ पर और $0$ पर $- \cos (u)$ का मान ज्ञात करें.

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$2 (- 0 + \cos (0))$

चरण 6.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 (- 0 + 1)$

चरण 6.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (0 + 1)$

चरण 6.4

$0$ और $1$ जोड़ें.

$2 \cdot 1$

चरण 6.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$