कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x + 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{u - 2}{\sqrt[4]{u}} d u$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt[4]{u}$ को $u^{\frac{1}{4}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

चरण 2.2

$u^{\frac{1}{4}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (u - 2) {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{4}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int (u - 2) u^{\frac{- 1}{4}} d u$

चरण 2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int (u - 2) u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 3

$(u - 2) u^{- \frac{1}{4}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 3.2

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{1 - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 3.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int u^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int u^{\frac{4 - 1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 3.6

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\int u^{\frac{3}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{\frac{3}{4}} d u + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{4}}$ का समाकलन $\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}}$ है.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 6

चूँकि $- 2$ बटे $u$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{4}}$ का समाकलन $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ है.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - 2 (\frac{4}{3}) u^{\frac{3}{4}} + C$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

चरण 8.2.2

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

चरण 8.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$\frac{4}{7} {(x + 2)}^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{4}} + C$