कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

चरण 1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

चरण 2

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot 1 + x (- x)$

चरण 2.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + x (- x)$

चरण 2.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x - x \cdot x$

चरण 2.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$x - (x \cdot x)$

चरण 2.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x - x^{2}$

चरण 2.1.5

$x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} + x$

चरण 2.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

चरण 2.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 2.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

चरण 2.4.2

$1$ और $- 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

चरण 2.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$d = - \frac{1}{2}$

चरण 2.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 2.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

चरण 2.5.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

चरण 2.5.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

चरण 2.5.2.1.4

$- - \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

चरण 2.5.2.1.4.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 0 + \frac{1}{4}$

चरण 2.5.2.2

$0$ और $\frac{1}{4}$ जोड़ें.

$e = \frac{1}{4}$

चरण 2.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x - \frac{1}{2}$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = x - \frac{1}{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x - \frac{1}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{1}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

चरण 4

घातांक का उपयोग करके व्यंजक लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

चरण 4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

चरण 5

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

चरण 6

$- u^{2}$ और ${(\frac{1}{2})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

चरण 7

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ बटे $u$ का समाकलन $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$ है

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

चरण 8.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arcsin (2 u) + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $x - \frac{1}{2}$ से बदलें.

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

चरण 10.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

चरण 10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

चरण 10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arcsin (2 x - 1) + C$